O que é uma função inversa?

Uma função inversa é uma função que reverte os efeitos de outra função. Se você tem uma função $f$ que leva um valor $x$ a um valor $y$, a função inversa, denotada por $f^{-1}$, leva $y$ de volta a $x$. Em termos matemáticos, se $f(x) = y$, então $f^{-1}(y) = x$

Como Encontrar a Função Inversa

Passo a Passo

  1. Troque $f(x)$ por $y$: Comece substituindo $f(x)$ por $y$
  2. Troque $x$ e $y$: Troque as variáveis $x$ e $y$ na equação.
  3. Resolva para $y$: Reorganize a equação para isolar $y$
  4. Substitua $y$ por $f^{-1}(x)$: Finalmente, substitua $y$ por $f^{-1}(x)$

Exemplo

Vamos encontrar a inversa da função $f(x) = 2x + 3$

  1. Troque $f(x)$ por $y$:
    $y = 2x + 3$
  2. Troque $x$ e $y$:
    $x = 2y + 3$
  3. Resolva para $y$:
    $x – 3 = 2y$
    $y = frac{x – 3}{2}$
  4. Substitua $y$ por $f^{-1}(x)$:
    $f^{-1}(x) = frac{x – 3}{2}$

Verificação

Para verificar se duas funções são inversas, você pode compor uma função com sua inversa e ver se obtém a função identidade. Em outras palavras, $f(f^{-1}(x)) = x$ e $f^{-1}(f(x)) = x$

Usando nosso exemplo:
$f(f^{-1}(x)) = fbigg(frac{x – 3}{2}bigg) = 2bigg(frac{x – 3}{2}bigg) + 3 = x – 3 + 3 = x$
$f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 3) = frac{(2x + 3) – 3}{2} = x$

Domínio e Imagem

Para que uma função tenha uma inversa, ela deve ser bijetora, ou seja, deve ser injetora (nenhum valor de $y$ é mapeado por mais de um valor de $x$) e sobrejetora (todos os valores de $y$ no contradomínio são atingidos).

Conclusão

Compreender funções inversas é crucial para resolver muitos problemas matemáticos, especialmente em álgebra e cálculo. Elas nos permitem ‘desfazer’ operações e são amplamente aplicadas em várias áreas da ciência e engenharia.

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(2) O3 + H → O2 + OH k2 = 1.78×10^-11 cm^3 s^-1 (3) O + OH → O2 + H k3 = 4.40×10^-11 cm^3 s^-1 (5) O + HO2 → O2 + OH k5 = 3.50×10^-11 cm^3 s^-1 (6) H2O + O → 2 OH k6 = 5.40×10^-12 cm^3 s^-1 (9) OH + HO2 → O2 + H2O k9 = 4.00×10^-11 cm^3 s^-1 (10) HO2 + HO2 → O2 + H2O2 k10 = 2.50×10^-12 cm s^-1 (11) O + O2 + M → O3 + M k11 = 1.05×10^-34 cm^6 s^-1 (14) H + O2 + M → HO2 + M k14 = 8.08×10^-32 cm^6 s^-1 (15) OH + H + M → H2O + M k15 = 3.31×10^-27 cm^6 s^-1 (16) O2 + hv → 2 O k16 = (1.26×10^-8 s^-1) φ (17) H2O + hv → H + OH k17 = (3.4×10^-6 s^-1) φ (18) O3 + hv → O2 + O k18 = (7.10×10^-8 s^-1) φ