Como determinar a função afim de uma PA?

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Para determinar a função afim que representa uma PA, precisamos entender alguns conceitos básicos.

Conceitos Básicos

Termo Geral da PA

O termo geral de uma PA é dado pela fórmula:
$a_n = a_1 + (n-1) times r$
Onde:

• $a_n$ é o enésimo termo da sequência
• $a_1$ é o primeiro termo
• $r$ é a razão da PA
• $n$ é a posição do termo na sequência

Função Afim

Uma função afim tem a forma:
$f(x) = mx + b$
Onde:

• $m$ é o coeficiente angular (inclinação)
• $b$ é o coeficiente linear (intercepto)

Determinando a Função Afim de uma PA

Para encontrar a função afim que representa uma PA, podemos usar a fórmula do termo geral da PA e reescrevê-la na forma de uma função afim.

Passo a Passo

1. Identifique o primeiro termo ($a_1$) e a razão ($r$) da PA.
   Exemplo: Considere uma PA onde $a_1 = 3$ e $r = 2$
2. Substitua esses valores na fórmula do termo geral da PA.
   $a_n = 3 + (n-1) times 2$
3. Simplifique a expressão.
   $a_n = 3 + 2n – 2$
   $a_n = 2n + 1$
4. Reescreva a expressão na forma de uma função afim.
   $f(n) = 2n + 1$

Nesse exemplo, a função afim que representa a PA é $f(n) = 2n + 1$

Outro Exemplo

Vamos considerar uma PA com $a_1 = 5$ e $r = -3$. Seguindo os mesmos passos:

1. Identifique os valores: $a_1 = 5$, $r = -3$
2. Substitua na fórmula do termo geral:
   $a_n = 5 + (n-1) times -3$
3. Simplifique a expressão:
   $a_n = 5 – 3n + 3$
   $a_n = -3n + 8$
4. Reescreva como função afim:
   $f(n) = -3n + 8$

Assim, a função afim para essa PA é $f(n) = -3n + 8$

Conclusão

Determinar a função afim de uma PA envolve reescrever a fórmula do termo geral da PA na forma de uma função afim. Isso nos permite representar a sequência como uma função matemática, facilitando a análise e o entendimento dos padrões na sequência.

1. Wikipedia – Progressão Aritmética

Citations

1. 2. Khan Academy – Arithmetic Sequences
2. 3. Mathematics LibreTexts – Arithmetic Sequences