Uma função quadrática é uma expressão matemática que pode ser escrita na forma geral $ax^2 + bx + c$, onde $a$, $b$ e $c$ são constantes e $a
eq 0$. Esta função é chamada de ‘quadrática’ porque o termo de maior grau é um quadrado ($x^2$).
Características Principais
Forma Padrão
A forma padrão de uma função quadrática é $y = ax^2 + bx + c$. Cada um dos coeficientes ($a$, $b$ e $c$) tem um papel específico na forma e posição da parábola no gráfico.
- $a$: Determina a abertura da parábola. Se $a > 0$, a parábola abre para cima. Se $a < 0$, abre para baixo.
- $b$: Influencia a inclinação e a posição da parábola no eixo x.
- $c$: Representa o ponto onde a parábola intercepta o eixo y.
Gráfico de uma Função Quadrática
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. Algumas propriedades importantes da parábola incluem:
- Vértice: O ponto mais alto ou mais baixo da parábola, dependendo do sinal de $a$. A coordenada x do vértice pode ser encontrada usando a fórmula $x = -frac{b}{2a}$
- Eixo de Simetria: Uma linha vertical que passa pelo vértice e divide a parábola em duas partes simétricas. A equação do eixo de simetria é $x = -frac{b}{2a}$
- Raízes ou Zeros: Os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Eles podem ser encontrados resolvendo a equação quadrática $ax^2 + bx + c = 0$
Fórmula de Bhaskara
Para encontrar as raízes de uma função quadrática, utilizamos a fórmula de Bhaskara:
$x = frac{-b pm sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$
Onde:
- $b^2 – 4ac$ é o discriminante. Se $Delta > 0$, a equação tem duas raízes reais e distintas. Se $Delta = 0$, tem uma raiz real dupla. Se $Delta < 0$, não tem raízes reais.
Exemplos Práticos
Exemplo 1
Considere a função quadrática $f(x) = 2x^2 – 4x + 1$
- Coeficientes: $a = 2$, $b = -4$, $c = 1$
- Vértice: $x = -frac{-4}{2 cdot 2} = 1$
- Eixo de Simetria: $x = 1$
- Raízes: Usando a fórmula de Bhaskara: $x = frac{4 pm sqrt{16 – 8}}{4} = 1 pm frac{sqrt{2}}{2}$
Exemplo 2
Para a função $g(x) = -x^2 + 3x – 2$:
- Coeficientes: $a = -1$, $b = 3$, $c = -2$
- Vértice: $x = -frac{3}{2 cdot -1} = 1.5$
- Eixo de Simetria: $x = 1.5$
- Raízes: Usando a fórmula de Bhaskara: $x = frac{-3 pm sqrt{9 – 8}}{-2} = frac{-3 pm 1}{-2}$, resultando em $x = 2$ e $x = 1$
Conclusão
Entender as funções quadráticas é fundamental para o estudo da matemática, pois elas aparecem em vários contextos, desde a física até a economia. Reconhecer suas propriedades e saber como manipular suas fórmulas facilita a resolução de muitos problemas práticos e teóricos.
1. Wikipedia – Quadratic Function